Lifting and Projecting Expansive Homeomorphisms

藤田 力 (筑波大学大学院数理物質科学研究科博士前期過程 1 年)

今までに、力学的現象として知られている minimality, topological transitivity, compact metric spaces 上の homeomorphisms の distal property について勉強してきました。現在は expansive homeomorphisms が入れられた空間や、 expansive behaviours を保つような metrics について勉強しています。今回は pseudo-covering map や covering map を通して compact metric spaces の expansive behaviours を保つことができるということについて述べたいと思います。

以下、 (X, d), (Y, ρ) を compact metric spaces とする。

定義・ f : X → X : homeo. に対して O_{f}(x) = {f^{n}(x) | n ∈ Z} と定義する。これを x の f-orbit という。

・ f : X → X : homeo. が Expansive であるとは、次のことが成り立つ実数 c( > 0) が存在することをいう。任意の x ≠ y(x, y ∈ X) に対して、 d(f^{n}(x), f^{n}(y)) > c をみたす整数 n が存在する。

・ φ : X → Y : open map に対して

B_{φ} = {x ∈ X | x の open nbd でφ が local homeo.となるものが存在しない }

と定義する。これを φ の branch set という。 (特にこれは closed set)

・ φ : X → Y が pseudo − covering map であるとは、 φ が X \ φ^{−1}(φ(B_{φ})）上で k − to − 1 covering map になることをいう。

定理.1 f : X → X : homeo. g : Y → Y : expansive homeo. φ : X → Y : pseudo − covering map s.t. φ ∘ f = g ∘ φ このとき、 f が X \ φ^{−1}(φ(B_{φ})）上で expansive かつ任意の y ∈ Y \ φ(B_{φ}) に対して O_{g}(y) ⊄ N(φ(B_{φ}), η) となるような η > 0 が存在する ⟹ f : expansive

定理.2 φ : X → Y : covering map f : X → X homeo. g : Y → Y homeo. s.t. φ ∘ f = g ∘ φ このとき f : expansive ⟺ g : expansive

ここまでのことから、 covering map を通しての expansive behaviours の lifting, projection, pseudo-covering map を通しての expansive behaviours の lifting に関しては解決できましたが、 pseudo-covering map を通しての expansive behaviours の projection, に関してはまだ最適な条件が見つかっていません。この問題は、今後の研究課題のひとつとしていきたいと思います。