η-不変量の断熱極限と MEYER 関数

飯田修一東京大学大学院数理科学研究科博士課程 1 年

1. Introduction

この講演の目的は Meyer 関数の高次元化を η-不変量の断熱極限を用いて構成することである. まず、種数 1 の Meyer 関数の定義から話を始める. Σ_{g} を種数 g の向き付けられた閉曲面、 M_{g}:=π_{0}(Diff^{+}(Σ_{g})) を種数 g の写像類群とし、 B:=S^{2}\∪_{i=1}^{3}D_{i} を球面から開円板を三つ取り除いたものとする. 向き付けられた Σ_{g}-束 π:X→B が与えられると、 monodromy 表現 α :π_{1}(B)=F_{2}→M_{g} が定まる. ここで、 F_{2} は階数 2 の自由群であり、生成元を固定すると写像類群の元が二つ定まる. 逆に M_{g} の元 σ_{1}, σ_{2} が与えられた時、 monodromy 表現での生成元の行き先が σ_{1}, σ_{2} になるような B 上の Σ_{g}-束を X(σ_{1}, σ_{2}) とする. X(σ_{1}, σ_{2}) は向き付けられたコンパクトな境界付き 4 次元多様体である. 写像 τ_{g} : M_{g}×M_{g}→ℤ を

τ_{g}(σ_{1}, σ_{2}) := Sign(X(σ_{1}, σ_{2}))

で定めると、 τ_{g} は 2-コサイクルになる ([7]). ここで、向き付けられたコンパクトな境界付き 4k-次元多様体 M に対して、符号数 Sign(M) を対称双線形形式

I : H^{2k}(M, ∂M, ℤ)×H^{2k}(M, ∂M, ℤ)→ℤ

の符号数として定める. τ_{g} は符号数コサイクル、もしくは Meyer コサイクルと呼ばれ、コホモロジー類 [τ_{g}]∈H^{2}(M_{g}, ℤ) が定まる. M_{1} = SL_{2}ℤ, 3[τ_{1}] = 0 ∈H^{2}(SL_{2}ℤ, ℤ) = ℤ/12ℤ, H^{1}(SL_{2}ℤ, ℤ) = 0 であることから、関数 ϕ_{1} : SL_{2}ℤ→\frac{1}{3}ℤ で任意の A, B ∈SL_{2}ℤ に対して

τ_{1}(A, B) = −ϕ_{1}(A) − ϕ_{1}(B) + ϕ_{1}(AB)

を満たすものが唯一存在し、種数 1 の Meyer 関数と呼ばれる. Meyer 関数 ϕ_{1} は以下のような非常によい性質を持つ.

Theorem 1.1 (Meyer[7]). 任意のコンパクト有向曲面上の T^{2}-束 X に対して、底空間の境界 ∂B = ∪_{i=1}^{k}S_{i} に沿った monodromy を A_{1}, ⋯A_{k} ∈SL_{2}ℤ とすると、

Sign(X) = −Σ_{i=1}^{k}ϕ_{1}(A_{i})

証明は底空間を pants 分解し、符号数の Novikov 加法性を用いれば容易である. 種数 2 においても 5[τ_{2}] = 0 ∈H^{2}(M_{2}, ℤ) = ℤ/10ℤ, H^{1}(M_{2}, ℤ) = 0 より、種数 2 の Meyer 関数 ϕ_{2} : M_{2}→\frac{1}{5} が一意的に存在し、同様の性質を満たす. しかしながら、種数 g > 2 では符号数コサイクルは捩じれ元ではないため Meyer 関数は定義できない. 以下、 Meyer 関数の高種数化ではなく ‘高次元’ に相当するものを η-不変量の断熱極限を用いて構成する.

Remark 1.1. H_{g} < M_{g} を超楕円的写像類群とすると、 g > 2 において τ_{g} の H_{g} での位数は 2g + 1 である（[5],[8]） . よって種数 g の Meyer 関数 ϕ_{g} : H_{g}→\frac{1}{2g+1}ℤ が定義される.

2. Family of theta divisors

𝔖_{g} を次数 g の Siegel 上半空間、 Γ_{g} = Sp(2g, ℤ) を Siegel モジュラー群とする. f : 𝔸_{g}→𝔖_{g} を主偏極 Abel 多様体の普遍族とし、 f : Θ := {(z, τ)∈𝔸_{g} : θ(z, τ) = 0}→𝔖_{g} を theta 因子の族とする. ここで、 θ(z, τ) は theta 関数である:

θ(z, τ) := ∑_{n∈ℤ^{g}} exp(π\sqrt{−}1nτ^{t}n + 2π\sqrt{−}1n^{t}z).

f : Θ→𝔖_{g} には Γ_{g} が作用し、 Γ_{g}-不変な接続（接束の垂直成分と水平成分への分解のこと） T Θ≅T Θ/𝔖_{g}⊕T_{H}Θ と Γ_{g}-不変な Kähler 計量 g^{Θ} が入る（[6]） . theta 因子が特異になるローカスを N_{g} := {τ∈𝔖_{g} : Sing(Θ_{τ})≠∅} とし、 𝔖g^{′} := 𝔖_{g} − N_{g} とおく. N_{g} はある重さ\frac{(g+3)·g!}{2} の Siegel 保型形式 Δ_{g}(τ) のゼロローカスになることが知られており ([9])、特に 𝔖_{g} の因子である. Γ_{g}\𝔖g^{′} には orbifold の構造が自然に入り、非特異 theta 因子の moduli 空間とみなせる. 以下の群、すなわち Γ_{g}\𝔖g^{′} の orbifold 基本群が本稿の主題である:

S_{g} := π_{1}^{orb}(Γ_{g}\𝔖g^{′}, ∗)
= {(p, γ) : γ∈Γ_{g}, p : [0, 1]→𝔖g^{′}, s.t. p(0) = γ·p(1) = ∗}/homotopy equivalence

ここで、基点 ∗∈𝔖g^{′} は generic にとるとする.

Remark 2.1. Γ_{1}\𝔖1^{′} 及び Γ_{2}\𝔖2^{′} はそれぞれ種数 1 及び種数 2 の Riemann 面の moduli 空間であることから S_{1} = M_{1}, S_{2} = M_{2} である.

写像類群 M_{g} の場合と同様に pants 上の theta 因子の族の符号数を用いることで符号数コサイクル [c_{2g}] ∈H^{2}(S_{2g}, ℤ) が定義される（偶種数のみ考えるのは符号数が 4k-次元以外では消えてしまうからである） . 特に c_{2} = τ_{2} である. c_{2g} が捩れ元であることを、関数 Φ_{2g} : S_{2g}→ℝ で任意の A, B ∈S_{g} に対して

c_{2g}(A, B) = −Φ_{2g}(A) − Φ_{2g}(B) + Φ_{2g}(AB)

を満たす関数、すなわち Meyer 関数を構成することによって示そう.

3. construction of Meyer’s function

まず準備として η-不変量の復習から始める. (M, g) を (4k − 1)-次元の有向閉 Riemann 多様体とする. 符号数作用素 D : ⊕A^{2p}(M)→⊕A^{2p}(M) を D(ω) = (−1)^{k+p+1}(∗d − d∗)ω, ω ∈A^{2p}(M) で定義し、 σ(D) を D のスペクトラムとする. Riemann 多様体 M の η-関数を

η(s) := ∑_{λ∈σ(D)\0} \frac{signλ}{|λ|^{s}}, s ∈ℂ,

で定めると、 η(s) は Re(s) >> 0 で広義一様収束し、 ℂ 全体に一価有理型関数として解析接続され、 s = 0 で正則である ([2], [4]). η(M, g) := η(0) は Riemann 多様体の η-不変量と呼ばれる. 次に M がファイバー束 π : M→B の構造を持っている場合を考えよう. 接続 T M≅T M/B⊕T B 及び相対接束 T M/B と底空間の計量 g^{M/B}g^{B} が与えられ、 M の計量が g^{M} = g^{M/B}⊕π^{∗}g^{B} と直交分解していたとする. M 上の計量の 1-parameter 族 g^{M,ε}, ε ∈R_{>0} を

g^{M,ε} := g^{M/B}⊕ε^{−1}π^{∗}g^{B}

で定めると、 η(M, g^{M,ε}) は ε→0 で収束し ([3])、 η-不変量の断熱極限と呼ばる. 極限を η^{0}(M, g) と書くことにする.

以下のようにして Meyer 関数 Φ_{2g} を構成する. σ = (p, γ) ∈S_{2g} に対して p^{∗}Θ→[0, 1] の両端を貼り合わせると S^{1} 上の theta 因子の族、即ち写像トーラス π : M_{σ}→S^{1} が定まる. p から誘導される M_{σ} 上の接続および相対接束上の計量 g^{M_{σ}/S^{1}} を用いて M_{σ} 上の計量を g^{M_{σ},ε} := g^{M_{σ}/S^{1}}⊕ε^{−1}π^{∗}dt^{2}, ε ∈ℝ_{>0} と定める. この計量は p のホモトピー同値類の代表元のとりかたに依存する. 天下りに、 Φ_{2g} を以下のように定義する.

Definition 3.1 (Higher dimensional analogue of Meyer’s function).

Φ_{2g}(σ) := η^{0}(M_{σ}, g^{M_{σ}}) − \frac{4^{g+1}(4^{g+1} − 1)B_{2g+1}}{(2g + 3)!·π\sqrt{−}1} ∫_{S^{1}} p^{∗}∂log∥Δ_{2g}(τ)∥^{2}.

ここで、 ∥Δ_{2g}(τ)∥^{2} := (detImτ)^{\frac{(2g+3)·(2g)!}{2}} |Δ_{2g}(τ)|^{2} は Peterson norm であり、 B_{k} は

\frac{x}{e^{x} − 1} = 1 − \frac{x}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1}B_{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!},

で定義される Bernoulli 数である. ただし、この定義の段階では p の同値類における代表元のとり方の不確定性から、 well-definedness は明らかではない. 以下が主定理である.

Theorem 3.2. (1) Φ_{2g}(σ) は p のとりかたによらない. 即ち、関数 Φ_{2g} : S_{2g}→ℝ は well-defined である.

(2) 任意の A, B ∈S_{2g} に対して c_{2g}(A, B) = −Φ_{2g}(A)−Φ_{2g}(B)+Φ_{2g}(AB). 特に [c_{2g}]⊗ℚ = 0 ∈H^{2}(S_{2g}, ℤ).

一意性より Φ_{2} = ϕ_{2} である. 証明は、 pants 上の theta 因子の族に対して Atiyah-Patodi-Singer の指数定理 ([2]) を用いることで、最終的には theta 因子の普遍族の相対接束の L-polynomial の計算に帰着される. 曲率の計算方法は ([9]) による.

4. Uniqueness of Meyer’s function

Meyer 関数 ϕ_{g} の存在は、 H^{1}(SL_{2}ℤ, ℤ) = H^{1}(M_{2}, ℤ) = H^{1}(H_{g}, ℤ) = 0 であることから一意的であった. しかしながら、 S_{g} では以下のように状況が異なる.

Theorem 4.1.

H^{1}(S_{g}, ℤ) = 0 1≤g≤3,
= ℤ g≥4.

証明は以下のようにして行われる. 完全列 1→π_{1}(𝔖g^{′}, ∗), ℤ)→S_{g}→Γ_{g}→1 より 5-項完全列

0→H^{1}(Γ_{g}, ℤ)→H^{1}(S_{g}, ℤ)→H^{1}(π_{1}(𝔖g^{′}, ∗), ℤ)^{Γ_{g}}→H^{2}(Γ_{g}, ℤ)→H^{2}(S_{g}, ℤ)

が導かれる. ここで H^{1}(Γ_{g}, ℤ) = 0, H^{2}(Γ_{g}, ℤ) = ℤ である. 一方、 A_{g} := Γ_{g}\𝔖_{g} において N_{g} = θ_{null,g}+2Ng^{′} と既約分解することが知られており、その帰結として重さが 2^{g−2}(2^{g} + 1) 及び\frac{(g+3)·g!}{4} − 2^{g−3}(2^{g} + 1) の Siegel 保型形式 χ_{g}(τ) 及び J_{g}(τ) が存在し Δ_{g}(τ) = χ_{g}(τ)J_{g}(τ)^{2} を満たす. ただし J_{g}(τ) は 1≤g≤3 では定数である. このことから H^{1}(π_{1}(𝔖g^{′}, ∗), ℤ)^{Γ_{g}} = H^{1}(𝔖_{g} − N_{g}, ℤ)^{Γ_{g}} = ℤ^{⊕2} が分かる. ここで \frac{1}{2π\sqrt{−}1}dlogχ_{g}(τ), \frac{1}{2π\sqrt{−}1}dlogJ_{g}(τ) ∈H^{1}(𝔖_{g} − N_{g}, ℤ)^{Γ_{g}} が生成元である. 重さ 1 の automorphic 直線束を

p : F_{1}→𝔖_{g} とおくと c_{1}(F_{1}) が H^{2}(Γ_{g}, ℤ) の生成元であることから写像 α : H^{1}(π_{1}(𝔖g^{′}, ∗), ℤ)^{Γ_{g}}→H^{2}(Γ_{g}, ℤ)

は α(m, n) = 2^{g−2}(2^{g} + 1)m + (\frac{(g+3)·g!}{4} − 2^{g−3}(2^{g} + 1))n で与えられることが分かり、求める主張を得る.

References

[1] M. F. Atiyah, Logarithm of the Dedekind η-Funktion, Math. Ann. 278 (1987) 335-380

[2] M. F. Atiyah, V. K. Patodi, I. M. Singer, Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 77 (1975) 43-69

[3] J.-M. Bismut, J. Cheeger, η-invariants and their adiabatic limits, J. Am. Math. Soc. 2 (1989) 33-70

[4] J.-M. Bismut, D. S. Freed, The analysis of elliptic families II: Dirac operators, eta invariants, and the holonomy theorem of Witten, Comm. Math. Phys. 107 (1986) 103-163

[5] H. Endo, Meyer’s signature cocycle and hyperelliptic fibration, Math. Ann. 316 (2000) 237-257

[6] S. Iida, Adiabatic limits of η-invariants and the Meyer function of genus two, master’s thesis, the university of Tokyo (2005)

[7] W. Meyer, Die Signatur von Flächenbündeln, Math. Ann. 201 (1973) 239-264

[8] T. Morifuji, On Meyer’s function of hyperelliptic mapping class groups, J. Math. Soc. Japan. 55 (2003) 117-129

[9] K. Yoshikawa, Discriminant of Theta divisors and Quillen metrics, J. Diff. Geom. 52 (1999) 73-115