Lusternik-Schnirelmann カテゴリー

加治佐博幸（東京工業大学理工学研究科数学専攻）

Lusternik-Schnirelmann カテゴリー（短くは L-S カテゴリー）はホモトピー不変量である。歴史的には、これは Lusternik と Schnirelmann によってコンパクト可微分多様体上の Morse 関数の特異点の個数の下界として導入されたものである。位相空間 X の L-S カテゴリー cat (X) は

cat (X) = min{ n | X = ⋃_{k=0}^{n} U_{k}, U_{k} are open and contractible in X }

で定義される。

色々な位相空間の L-S カテゴリーを求めることは簡単な問題ではない。そのために L-S カテゴリーに関連する他の不変量を利用する。例えば、 L-S カテゴリーを下から評価することができるホモトピー不変量に cup-length がある。上からの評価することができる位相不変量に幾何学的カテゴリー gcat (X) がある。これは

gcat (X) = min{ n | X = ⋃_{k=0}^{n} U_{k}, each U_{k} is open and contractible in itself }

で定義される。位相空間 X に対し min_{X≃Y} gcat (Y ) を X の強 L-S カテゴリーと言い、 Cat (X) と書く。この様に定義することにより、強 L-S カテゴリー Cat (X) はホモトピー不変量になる。 cone-decomposition とは強 L-S カテゴリーを求めるための道具であり、与えられた位相空間の cone-decomposition を具体的に構成することにより強 L-S カテゴリーを上から評価できる。これは L-S カテゴリーを上から評価することにもなる。

回転群、スピノール群、シンプレクティック群の L-S カテゴリーは、まだ完全には決定されていない。この中で、三次元シンプレクティック群 Sp (3) の L-S カテゴリーの決定にはホモトピー群が用いられた。 Sp (3) のホモトピー的な特徴ををうまく利用した方法であった。私には、これが L-S カテゴリーの決定に寄与する本質的な方法であるように感じられる。ただし、ホモトピー群を利用すること自体が非常に難しい方法であり、より本質的で簡単な方法を見つける必要性がある。