Meyer 関数

久野 雄介（東京大学） (kunotti@ms.u-tokyo.ac.jp)

興味：群のコホモロジー、リーマン面

図形量を、組み合わせ（群論）的計算に帰着させて求めるというのがしたいことです。しかし、しばしば公式は存在しても計算を行うのは計算機をもってしても不可能という場合もあります。少しでも良い計算方法を見つけるとか新しい見方をして状況を打開するという研究をしたいと思います。

前期に勉強していたことを紹介させていただきます。底空間 B を実 2 次元、 compact 有向曲面（境界あってよい）、ファイバー F を種数 g の実 2 次元有向閉曲面とする、向き付け可能なファイバーバンドル f : E → B を考えます。 E は向き付けられた、 compact 実 4 次元多様体です。 E の符号数を求める問題を考えます。ここで、向き付けられた 4 次元多様体 E の符号数とは、対称な双線形形式（一般には退化する）

・ : H^{2}(E, ∂E) × H^{2}(E, ∂E) → H^{4}(E, ∂E) → ℝ

の符号数です。 (ℤ 係数なら双線形形式は mod torsion で考える)

1.π_{1}(B) が、ファイバーの全ての次元のコホモロジーに自明に作用する場合。（今は π_{1}(B) が H^{1}(F) に自明に作用することと同値）この時は Serre Spectral 系列を用いることで Sign(E)=Sign(B)Sign(F) となり、従って Sign(E)=0 となります。

2. そうではない場合。基本群が悪さをする（＝ monodromy）ので、難しくなります。 B の Pants 分割に応じて E を分割し、符号数の加法性を用いることで (Spectral 系列も使う) 符号数を表す公式が得られます。

3.2 において更に、ファイバーの種数が 2 以下の場合。 F の写像類群の 1 次元コホモロジーが torsion であることから、 Meyer 関数なる写像類群上の 1-cochain が存在し、これを用いて 2. の公式を簡明にすることができます。更に F がトーラスであればその写像類群は SL(2, ℤ) であり、 Meyer によって Meyer 関数の値が実際に計算されています。

参考文献 W.Meyer ”Die Signatur von Flaechenbuendeln” Math.Ann.201(1973) 239-264

於 2005 年 トポロジー新人セミナー