Foliation の depthについて

{村井紘子 \atop 奈良女子大学人間文化研究科}

Foliation(葉層構造)とは多様体の弧状連結な部分集合の和への分解で，局所的にはEuclid 空間が層状に積み重なった形になっているような構造のことであり，その連結成分のことを leaf という. ここでは三次元多様体上の余次元 1 の Foliation で大域的に transverse 方向が定まっているようなものを扱う.

Foliation に対しては，応用上非常に有益な‘ taut foliation ’というクラスが次のように定義される：

Definition 1. Foliation ℱ の各 leaf L に対して L を通る closed transverse curve または properly embedded transverse curve が存在するとき ℱ は taut であるという.

また, foliationに対してそれが曲面束からどれだけ離れているかを測る量である‘depth’ が定義される：

Definition 2. まず foliation の leaf(連結成分) L に対して depth を次のように帰納的に定める： Compact leaf を depth 0 leaf と定め， k ≥ 1 に対して\overline{L} \ L が k 未満の depth をもつ leaves から成り，そのうち少なくとも 1 枚が depth (k − 1) leaf であるとき， L の depth を k とする. Foliation に対して，その leaf の depth の最大値 (そのような値が存在しないときは ∞) を foliation の depth という.

これについて Gabai は 1987 年に三次元球面内の結び目補空間上に結び目の Seifert 曲面を深さ 0 の葉としてもち，その境界への制限が円周による product foliation となっているような余次元 1 の taut, finite depth C^{0}-foliation が存在することを示している [3].

昨年の新人セミナーでも簡単に紹介したが, 以下の定理が得られた.

Theorem 3. S^{3}(K, 0) を, 三次元球面を結び目 K に沿って 0-surgery して得られる多様体とし, Σ^{(n)}(K, 0) を S^{3}(K, 0) の n 次巡回被覆とする. K が non-cable knot の 0-twisted double と呼ばれる結び目のとき各 n に対して

depth_{1,α}^{0}(Σ^{(n)}(K, 0)) ≥ 1 + [\frac{n}{2}] ,

ここで depth_{1,α}^{0} は Σ^{(n)}(K, 0) 上の C^{0}-foliation でその depth 0 leaf が α of H_{1}(S^{3}(K, 0)) の生成元を表す connected surface から成るようなものの depth の最小値を表し, [x] は x を超えない最大の整数を表す.

この証明の中で用いた Cantwell-Conlon の主張が誤りであるとの指摘を受け, その主張によらない証明を考えた. その過程である depth の leaf に着目してそのふるまいを詳細に調べる中, 次のような新たな問題意識が生まれた.

1. depth 0 leaf の枚数を固定して foliation の depth の値の評価を得られるのではないか．

2. depth の定義から depth k(> 1) leaf は必ず depth k − 1 leaf に収束するが, depth k leaf が必ずしも depth k −1 leaf と接しているとは限らない. このように leaf の depth と接する leaf の depth の差があるという現象が foliation の depth にどのような影響を与えるのか.

このように foliation の leaf の位相的性質と foliation の depth の関連については, 派生的にさまざまな問題が考えられる. これらについて調べることにより, 三次元多様体上の foliation の depth と双曲構造等の幾何構造の間の関係について考察していきたいと考えている.

参考文献

[1] J.Cantwell and L.Conlon, Depth of knots, Topology and its applications, 42 (1991), 277-289.

[2] D.Gabai, Foliations and the topology of 3-manifolds, J. Differential Geom., 18 (1983), 445-503.

[3] D.Gabai, Foliations and the topology of 3-manifolds III, J. Differential Geom. 26 (1987), 479-536.