部分多様体のモジュライ空間について

野沢啓（東大数理 M2）

2005 年 8 月 9 日

1 概要

ここでは現在の私の研究対象である擬群構造を持つ多様体の中の部分多様体のモジュライ空間について述べる。部分多様体のモジュライ空間について知られている定理の主なものを二つ紹介した後、一般化のための定式化について簡単に述べる。

2 定理の紹介

部分多様体のモジュライ空間に関する二つの定理を挙げる。複素構造、 Calabi-Yau 構造、特殊 Lagrange 埋め込みの定義は定理を述べた後に述べる。

定理 1. (McLean[1])

X : 複素 n 次元 Calabi-Yau 多様体, M : 実 n 次元の向き付けられたコンパクト C^{∞}-多様体に対し、 i_{0} : M ⟶ X, 特殊 Lagrange 埋め込みがあったとする。

Diff(M) : M の微分同相群（C^{∞}-位相）、 Diff_{0}(M) : Diff(M) の id_{M} を含む連結成分として特殊 Lagrange 埋め込みのモジュライ空間を

M_{i_{0}} =^{def} {i : M ⟶ X, 特殊 Lagrange 埋め込み, i ≃ i_{0}}/ Diff_{0}(M)

とおく。すると、 M_{i_{0}} は b^{1}(M) 次元の多様体であり、その上の C^{∞}-構造が自然に定まる。但し ≃ は C^{∞}-埋め込みとしてアイソトピックという関係を表わし、 b^{1}(M) = dim H^{1}(M; ℝ) とした。

定理 2. (Kodaira[2])

X : 複素多様体, M : コンパクトな X の複素部分多様体, i_{0} : M の包含写像、 Θ : M の X における複素直交補束の切断のなす層とする。このとき、 H^{1}(M, Θ) = 0 ならば、

M_{M} =^{def} {i : M ⟶ X, C^{∞}-埋め込み, 像が X の複素部分多様体 , i ≃ i_{0}}/ Diff_{0}(M)

は M の近傍で複素 dim_{ℂ} H^{0}(M, Θ) 次元の複素多様体になる。

多様体上の複素構造と Calabi-Yau 構造の定義を以下に述べる。

定義 1. X : 2n 次元 C^{∞}-多様体とする。 GL(n; ℂ)[resp. SU(n)] を G で表わし、自然に GL(2n; ℝ) の部分 Lie 群とみなす。

{(U_{α}, ϕ_{α} : U_{α} ⟶ ℝ^{2n})}_{α∈A} : X の C^{∞}-局所座標系であって、

∀α, β ∈ A, ∀x ∈ U_{α} ∩ U_{β} に対して d(ϕ_{α} ∘ ϕ_{β}^{−1})_{ϕ_{β}(x)} : T_{ϕ_{β}(x)}ℝ^{2n} ⟶ T_{ϕ_{α}(x)}ℝ^{2n} が G に属するものを、 X 上の複素構造 [resp. Calabi-Yau 構造] という。

M が Calabi-Yau 構造を持つとき、 M 上に Kähler 形式 ω と複素体積形式 Ω が定義される。それぞれ (1, 1)-形式、 (n, 0)-形式である。

定義 2. X : 2n 次元 Calabi-Yau 多様体, M : n 次元 C^{∞}-多様体とする。 i : M ⟶ X C^{∞}-埋め込みが特殊 Lagrange 埋め込みであるとは、 ω|_{i(M)} = 0, Ω|_{i(M)} = 0 を満たすときに言う。

何らかの構造を持つ多様体の中の部分多様体のモジュライ空間はそれ自身興味の対象であるが、多様体の性質を調べるための道具としても重要である。ただ一般には空間は無限次元でありその性質を調べるのは簡単ではないだろう。上の二つの定理はこの空間が扱いやすくなるための必要条件を与えるものと考えられる。

3 多様体上の擬群構造

上のような複素構造、 Calabi-Yau 構造の定義は ℝ^{n} 上の擬群という概念を用いて拡張される。

定義 3. C^{∞} を ℝ^{n} 上の C^{∞}-局所微分同相全体のなす集合、 O を ℝ^{n} の開集合全体とする。 C^{∞} の部分集合 G が ℝ^{n} 上の擬群であるとは、次を満たすときに言う。

1) ∀U ∈ O, id_{U} ∈ G

2) ∀f ∈ G, f^{−1} ∈ G

3) f, g ∈ G, cod f ⊂ dom g ⟹ g ∘ f ∈ G

4) f ∈ C^{∞}, {U_{α}}_{α∈A} ⊂ O, dom f = ⋃_{a∈A} U_{α}, f|_{U_{α}} ∈ G ⟹ f ∈ G

但し、 f ∈ C^{∞} に対して f の定義域、像をそれぞれ dom f, cod f で表わした。

定義 4. G が ℝ^{n} 上の擬群,M : n 次元 C^{∞}-多様体とする。 {(U_{α}, ϕ_{α} : U_{α} ⟶ ℝ^{2n})}_{α∈A} : X の C^{∞}-局所座標系であって、 ∀α, β ∈ A, ϕ_{α} ∘ ϕ_{β}^{−1}|_{ϕ_{β}(U_{α}∩U_{β})} ∈ G を満たすものを M 上の G-構造という。

上の M 上の G-構造を総称して多様体上の擬群構造という。

上で述べた二つの定理の拡張の際の一般的な枠組みの一つとしてこの擬群構造によるものが用られる。つまり X がある擬群 G-構造を持つとし、 X の部分多様体で擬群構造に対してある条件を満たすもの全体の空間を考えれば上の定理の状況の一般化になっている。私はこの擬群構造による定式化における上の二つの定理の拡張について考えている。

最後にこの手法をとった動機の説明のため、擬群構造の変形理論との関係について述べる。擬群構造の変形理論は複素構造の変形理論である小平-Spencer 理論の一般化として D.C.Spencer により創始された。この中で多様体上の擬群構造から決まる “多様体上の微分方程式” （多様体の接束のジェット束の部分ベクトル束）の変形全体を考えるという方法が使われた。上の二つの定理は “部分多様体上の微分方程式” の変形全体の中である種の条件を満たすもの全体を与えるものと考えることができ、これは擬群構造の変形理論で用いられたものとほぼ同様の定式化で考えることができるのではないかと考えた。

参考文献

[1] R.C.McLean, Deformations of calibrated submanifolds, Comm. Anal. Geom. 6 (1998) 705-747.

[2] K.Kodaira, A theorem of completeness of characteristic systems for analytic families of compact submanifolds of complex manifolds, Ann. of Math. 2nd Ser. 75 (1962) 146-162.