山下 温^{やました あつし}（東京大学数理科学研究科 M2）

• 指導教官：坪井 俊 教授

• E-mail アドレス： yonster@ms.u-tokyo.ac.jp

• 研究題目：同相群をはじめとする無限次元空間の位相的性質

• 専門について

⊠ ℓ_{2}-多様体という， Hilbert 空間と同相な開集合で被覆されるような空間が主な対象です．場所によっては Hilbert 多様体とも呼ばれています． Hilbert 空間を Banach 空間に一般化すると Banach 多様体ですが，これは位相的な意味では Hilbert 多様体と区別がつきません．実際，可分な Banach 空間は可分な Hilbert 空間と（可分でない場合も，それに応じたサイズの Hilbert 空間と）同相になります．したがって， Hilbert 空間は位相空間としては非常にありふれた無限次元空間と言うことができます．

⊠ 一方，無限次元空間には自然な例が存在します．無限個の点からなるコンパクト距離空間上の実数値関数全体は，コンパクト開位相（＝この場合，一様収束位相）で ℓ_{2}-多様体をなします．またある空間上の Borel 測度全体も，一定の条件のもとで，やはり ℓ_{2}-多様体をなします．しかし，トポロジーの観点からもっとも自然と思われるのは，（有限次元）多様体の同相群でしょう．実際， 1,2 次元のコンパクト多様体の同相群はコンパクト開位相で ℓ_{2}-多様体をなしますが， 3 次元以上の場合，同相群が ℓ_{2}-多様体になるかどうかは重要な未解決問題となっています．

⊠ ある空間が ℓ_{2}-多様体をなすかどうかの判定は困難を極めますが，ポーランドの Toruńczyk 氏は，空間が局所的に単純な形であることを示す ANR という性質，およびある種の「一般の位置への近似」が可能であるという性質によって，これを ℓ_{2} を使わずに特徴づけました．これは与えられた空間が ℓ_{2}-多様体であることを証明する基本的な道具です． ℓ_{2} の他に， Hilbert cube や Menger curve といったものを局所的な構造とする多様体もあり，たとえば後者の場合，ふつうには無限次元とは考えられないのですが，これらの多様体に関する理論は ℓ_{2}-多様体との多くの並行性が見られ，最近これらを統一的に記述することもなされています．