リッチフローについて

横田 巧（筑波大学数理物質科学研究科 博士前期課程１年）

リッチフローとは，ハミルトンによって開発された次の偏微分方程式の解である，多様体 M 上のリーマン計量の族 g(t) のことである．

\frac{∂}{∂t}g(t) = −2Ric_{g(t)}
g(0) = g_{0}

接空間 T_{p}M に内積 g(·, ·) の定義された多様体 M をリーマン多様体といい， (M, g) と表す．この内積 g のことを多様体 M 上のリーマン計量という．ここでは時間 t に依存して変化するリーマン計量を考えるため g(t) と書く．式の中の Ric_{g(t)} は，リーマン計量 g(t) に対するリッチ曲率を表す．

大雑把に言って，式の形から，曲率が正であるようなところでは収縮し，負であるようなところでは膨張していくことがわかる．例えば球面上の正定曲率計量を初期値とするリッチフローは，曲率が正であることから収縮し，半径が小さくなると曲率がより大きくなるのでさらに収縮し，有限時間で一点に崩壊する．

ハミルトンはリッチフローについて次を示した (’82)．

定理 1. n 次元閉多様体上の任意のリーマン計量 g_{0} を初期値とするリッチフロー g(t) が t ∈ [0, ϵ) で一意的に存在する．

定理 2. リッチ曲率がいたるところ正であるような３次元閉多様体上のリーマン計量 g_{0} に対して， g_{0} を初期値とする（正規化された）リッチフロー g(t) は t ∈ [0, ∞) で存在し， t → ∞ のとき正定曲率計量に収束する．

つまりこれは有名なポアンカレ予想：単連結３次元閉多様体は３次元球面に同相であろう，をリッチ曲率正の場合に証明したことになる．

その後ハミルトンは，ポアンカレ予想を含むサーストンの幾何化予想を，リッチフローを使って証明するというハミルトンプログラムに向けて，リッチフローの研究を続けてきた．

２年程前，ペレルマンがハミルトンプログラムに沿って幾何化予想を証明したと発表した．それ以来，世界中でペレルマンの証明の検証作業が行われている．現在もまだその途中の段階であるが，多くの数学者がその証明は正しそうだと感じているそうである．