微分幾何学セミナー（2023年度）

Haizhong Li （清華大学）

Isoperimetric inequality is one of the oldest problems in mathematics, which relates with convex geometry, differential geometry and geometric PDEs, etc. Recently, the isoperimetric type inequalities in hyperbolic space have been widely investigated by using the hypersurface curvature flows, including the inverse curvature flows, quermassintegral preserving curvature flows, contracting curvature flows, and locally constrained curvature flows. In this talk, I will survey the recent progress in this direction, which is based on my joint works with Ben Andrews (ANU), Yong Wei (USTC), Changwei Xiong (SCU), Yingxiang Hu (Beihang U.).

青井 顕宏（和歌山工業高等専門学校）

複素多様体がいつ定スカラー曲率ケーラー計量(constant scalar curvature Kähler計量, cscK計量)をもつか, という問題は基本的かつ重要な問題である. 本講演では, ポアンカレ型cscK計量が, 錐的特異点と呼ばれる特異点を持つ非完備なcscK計量の極限として記述できる, という結果を紹介する. これはケーラー・アインシュタイン計量に関するGuenanciaの結果のcscK計量に対する類似である. この系として, 角度0に対するログK半安定性が従うことを説明し, 関連する話題についても触れる.

宮武 夏雄（東北大学数理科学共創社会センター）

$X$を連結Riemann面, $K_X\rightarrow X$を$X$の標準束とします. 標準束の二乗根$K_X^{1/2}$を固定し, 階数$r$の$X$上の正則ベクトル束$E$を$E \coloneqq \bigoplus_{j=1}^r K_X^{(r-(2j-1))/2}$と定めます. 各$q \in H^0(K_X^r)$に対し, ${\rm End} E$に値をとる正則一形式$\Phi(q) \in H^0({\rm End} E\otimes K_X)$を自然に定めることができます. この組$(E, \Phi(q))$を巡回Higgs束(cyclic Higgs bundle) と呼びます. また巡回Higgs束のHitchin方程式と呼ばれる, $E$上のHermite計量$h = (h_1, \dots, h_r)$に対する二階の楕円型方程式を$\Phi(q)$を用いて定義することができます. その解から, $X$の普遍被覆空間から${\rm SL}(r,{\mathbb C})/{\rm SU}(r)$への調和写像が構成されます. 本講演では, $q_N \in H^0((K_X^r)^N)$に付随する多価切断$q_N^{1/N}$に対する巡回Higgs束とそのHitchin方程式, というものを導入します. さらに, Hitchin方程式の解と解から構成される種々の量は$N\to\infty$の極限で漸近的にどのように振舞うだろうかという問題を提起し, この問題を動機として, 巡回Higgs束のHitchin方程式の劣調和関数を用いた拡張, というものを導入します. その拡張された方程式に対するDirichlet問題の解の存在と一意性が本講演における主定理です.

Michael Pevzner （Reims 大学）

We introduce the notion of "generating operator" for a family of differential operators between two manifolds and develop this construction in the framework of covariant differential operators acting on sections of holomorphic vector bundles over homogeneous spaces. An explicit formula for the generating operator associated with the Rankin--Cohen brackets will be discussed.

橋本 義規（大阪公立大学）

冪零リー群上に左不変リッチソリトンがいつ存在するかは，非コンパクトなアインシュタイン空間の分類とも関わる重要な問題であり，盛んに研究されている．本講演では，幾何学的不変式論におけるHilbert-Mumford基準の類似を用いて，冪零リー群上に左不変リッチソリトンが存在する必要十分条件を代数的不変量によって与える．その応用として，nice basisを持つ冪零リー環について知られていたNikolayevskyの基準を一般化し，ソリトンの非存在に関する武富・田丸予想の修正版を導く．

林 正人（名古屋大学・香港中文大学）

Iterative minimization algorithms appear in various areas including machine learning, neural network, and information theory. The em algorithm is one of the famous iterative minimization algorithms in the former area, and Arimoto-Blahut algorithm is a typical iterative algorithm in the latter area.
However, these two topics had been separately studied for a long time.
In this paper, we generalize an algorithm that was recently proposed in the context of Arimoto-Blahut algorithm. Then, we show various convergence theorems, one of which covers the case when each iterative step is done approximately. Also, we apply this algorithm to the target problem in em algorithm, and propose its improvement. In addition, we apply it to other various problems in information theory.
This paper is available in https://arxiv.org/abs/2302.06905

小林 和志（三重大学）

ホモロジー的ミラー対称性により, シンプレクティックトーラス内のラグランジュ部分多様体とその上のユニタリ局所系から成るある組に対し, ミラー双対な複素トーラス上定義された可積分接続付きのある種の正則直線束が対応すると考えられている.
　本講演では, まず始めにある特定の平坦なgerbeによる複素トーラスの変形, 及び与えられた複素トーラスのミラーパートナーの変形を構成し, さらに, それに付随して定まる, 上記の複素幾何学的な対象, 及びそれとミラー双対な関係にあるシンプレクティック幾何学的な対象の変形についても議論する.
　また, もし時間が許せば, 変形後の捻れ可積分接続が捻れ正則直線束上における変形エルミート・ヤン・ミルズ接続を定めることと, 対応する変形後のラグランジュ部分多様体が特殊ラグランジュ部分多様体になることが同値であることについても説明したい.

村上 怜（東北大学）

濱中 翔太(三菱電機株式会社 先端技術総合研究所)

Tomás Otero (CITMAga - Universidade de Santiago de Compostela)

Cohomogeneity one actions on symmetric spaces

An isometric action on a Riemannian manifold is of cohomogeneity one if the minimum codimension of its orbits is one or, equivalently, it has hypersurfaces as its regular orbits. While the classification of homogeneous hypersurfaces in real hyperbolic spaces follows from Cartan's classical work on isoparametric hypersurfaces, obtaining similar results for other symmetric spaces of noncompact type has proven to be difficult: For example, it was not until recently that the classification of homogeneous hypersurfaces on the quaternionic hyperbolic spaces was obtained. In noncompact symmetric spaces of higher rank, several structural results by J. Berndt and H. Tamaru allowed to obtain similar classifications, but only for certain irreducible spaces of rank two.

In this talk I will report on the state of the classification of cohomogeneity one actions in symmetric spaces focusing on the case of symmetric spaces of noncompact type. Recently, in a joint work with J. Carlos Díaz-Ramos and Miguel Domínguez-Váquez we have proposed a generalized procedure for the classification of such actions on a given symmetric space of noncompact type. This allowed us to produce the first classification result of homogeneous hypersurfaces in a space of rank > 2, namely on the spaces SL(n,R)/SO(n).