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微分作用素や差分作用素の可換族に対する同時固有函数の研究は, 広義の多変数超幾何函数の問題として, また可積分な1次元量子多体系の問題として, 現在も興味深い研究が進展している. 本講義では,対称函数の基本事項の解説から始めて, いわゆる Macdonald 多項式の理論の概要を紹介する. 多変数の q 直交多項式としての側面と, q 差分作用素の可換族の同時固有函数としての特徴付けを中心に, Macdonald 多項式のさまざまな著しい性質について紹介する. 講義を通じて,表現論と特殊函数の基礎的な事項も習得できるように配慮したい. 1日目:対称函数, 特に Schur 函数 2日目:Macdonald 多項式の定義と例 3日目:直交関係式,q 差分作用素の可換族 4日目:双対性, Pieri 公式, 核函数 5日目:アフィン Hecke 環と q Dunkl 作用素
カンドルという代数系とそのホモロジーの理論は、特に結び目の研究において、有益な結果をもたらしてきた。本講義では、カンドルの理論を初歩から解説し、この理論が結び目の研究にどう活かされてきたのかを紹介する。また、カンドルは対称性を記述する言語としても優れている。併催される談話会では、このことについても紹介する。
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